Los matemáticos van más allá de la teoría geométrica del movimiento

«[Floer] La teoría de la homología depende solo de la topología de su variedad. [This] Es la increíble visión de Fleur». Agustín Moreno del Instituto de Estudios Avanzados.

dividir entre cero

El teorema de Feller terminó siendo enormemente útil en muchas áreas de geometría y topología, incluyendo simetría del espejo El estudio del contrato.

«Es la herramienta central», dijo Manolscu.

Pero la teoría de Flor no resolvió completamente la conjetura de Arnold porque el método de Flor solo funcionó en un tipo de variedad. Durante las próximas dos décadas, la geometría afectiva ha estado involucrada en Esfuerzo masivo de la comunidad Para superar este bloqueo. Finalmente, el trabajo condujo a la prueba de la conjetura de Arnold donde los homónimos se calculan usando números racionales. Pero no resolvió la conjetura de Arnold cuando los agujeros se calculan utilizando otros sistemas numéricos, como los números periódicos.

La razón por la que el trabajo no se amplió a los sistemas numéricos periódicos fue que la prueba incluía la división por el número de simetrías de un objeto dado. Esto siempre es posible con números racionales. Pero con números periódicos, la división es más difícil. Si el sistema numérico retrocede después de cinco, contando 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, entonces los números 5 y 10 son ceros. (Esto es similar a cómo la 1:00 p. m. es lo mismo que la 1 p. m.). Como resultado, dividir por 5 en esta configuración es lo mismo que dividir por cero, algo prohibido en matemáticas. Estaba claro que alguien tendría que desarrollar nuevas herramientas para sortear este problema.

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«Si alguien me pregunta sobre los aspectos técnicos que impiden el desarrollo de la teoría de los flotadores, lo primero que me viene a la mente es el hecho de que tenemos que introducir estos puntos en común», dijo Abu Zayd.

Para extender la teoría de Fleur y probar la conjetura de Arnold con números periódicos, Abu Zayd y Bloomberg necesitaban mirar más allá de la homología.

Sube a la torre topológica

Los matemáticos suelen pensar en la homología como el resultado de aplicar una determinada receta a una forma. Durante el siglo XX, los topólogos comenzaron a ver la simetría en sus propios términos, independientemente del proceso utilizado para crearla.

En la década de 1980, Andreas Floer desarrolló un método radicalmente nuevo para calcular huecos en formas topológicas.

«No pensemos en la receta. Pensemos en lo que obtendrás de la receta. ¿Cuál es la estructura, qué propiedades tiene este grupo de simetría?», dijo Abu Zayd.

Los topólogos han buscado otras teorías que satisfagan las mismas propiedades básicas que la homología. Estas se conocieron como teorías de simetría generalizada. Con homónimos en la base, los topólogos construyeron una torre de teorías de simetría generalizada cada vez más complejas, todas las cuales pueden usarse para clasificar espacios.

La simetría flotante refleja la teoría de la simetría en la planta baja. Pero la simetría se ha preguntado durante mucho tiempo si es posible desarrollar versiones flotantes de teorías topológicas en la parte superior de la torre: teorías que vinculan la simetría generalizada con características específicas del espacio en un entorno de dimensión infinita, tal como lo hizo la teoría original de Fleur.

Fleur nunca tuvo la oportunidad de intentar este negocio él mismo, ya que murió en 1991 a la edad de 34 años. Pero los matemáticos continuaron buscando formas de expandir sus ideas.

Nueva teoría de la medición

Ahora, después de casi cinco años de trabajo, AbuZayd y Bloomberg han hecho realidad esta visión. Su nuevo artículo desarrolló la versión de Morava de Floer. kTeorema que luego usaron para probar la conjetura de Arnold de los sistemas numéricos periódicos.

«Existe la sensación de que esto completa un ciclo para nosotros que se vincula con el trabajo original de Fleur», dijo Keating.

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